Question

3．已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為4$\sqrt{2}$，離心率為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l與該橢圓交于M，N兩點，MN的中點為A（2，-1），求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意求出a，c，然后求解b，可得橢圓方程；
（2）寫出直線方程，聯(lián)立方程組消掉y得到x的二次方程，由韋達定理及中點坐標(biāo)公式即可求得直線的斜率，然后求解直線方程．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由長軸長為4$\sqrt{2}$，離心率為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
得a=2$\sqrt{2}$，解得c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{5}$，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$；
（2）由直線l與該橢圓交于M，N兩點，MN的中點為A（2，-1），
設(shè)直線l：y+1=k（x-2），即y=kx-2k-1．
$\left\{\begin{array}{l}y=kx-2k-1\\ \frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{5}=1\end{array}\right.$得（5+8k²）x²-（32k²+16k）x+8（2k+1）²-40=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}+16k}{5+8{k}^{2}}=4$，
解得k=$\frac{5}{4}$，
直線l的方程：y=$\frac{5}{4}$x-2×$\frac{5}{4}$-1，即5x-4y-14=0．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓方程的求解，弦長公式及韋達定理是解決該類題目的基礎(chǔ)知識，要熟練掌握．