Question

15．已知拋物線x²=2py （p＞0），其焦點F到準(zhǔn)線的距離為1．過F作拋物線的兩條弦AB和CD，且M，N分別是AB，CD的中點．設(shè)直線AB、CD的斜率分別為k₁、k₂．
（1）若AB⊥CD，且k₁=1，求△FMN的面積；
（2）若$\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=1$，求證：直線MN過定點，并求此定點．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AB的方程為$y=x+\frac{1}{2}$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=x+\frac{1}{2}\\{x^2}=2y\end{array}\right.$，求出M，N的坐標(biāo)，即可求△FMN的面積；
（2）求出直線MN的方程，即可證明直線MN過定點，并求此定點．

解答 解：（1）拋物線的方程為x²=2y，設(shè)AB的方程為$y=x+\frac{1}{2}$
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=x+\frac{1}{2}\\{x^2}=2y\end{array}\right.$，得x²-2x-1=0，$M（{1，\frac{3}{2}}）$，同理$N（{-1，\frac{3}{2}}）$
∴S_△FMN=$\frac{1}{2}$|FM|•|FN|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}•\sqrt{2}$=1
△FMN的面積為1．…（5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），設(shè)AB的方程為$y={k_1}x+\frac{1}{2}$
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}x+\frac{1}{2}\\{x^2}=2y\end{array}\right.$，得x²-2k₁x-1=0，$M（{{k_1}，{k_1}^2+\frac{1}{2}}）$，同理$N（{{k_2}，{k_2}^2+\frac{1}{2}}）$…（7分）
k_MN=$\frac{{（{{k_1}^2+\frac{1}{2}}）-（{{k_2}^2+\frac{1}{2}}）}}{{{k_1}-{k_2}}}={k_1}+{k_2}$
∴MN的方程為$y-（{{k_1}^2+\frac{1}{2}}）=（{{k_1}+{k_2}}）（{x-{k_1}}）$，即$y=（{{k_1}+{k_2}}）x-{k_1}{k_2}+\frac{1}{2}$，…（10分）
又因為$\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=1$，所以k₁+k₂=k₁k₂，
∴MN的方程為$y={k_1}{k_2}x-{k_1}{k_2}+\frac{1}{2}$即$y={k_1}{k_2}（{x-1}）+\frac{1}{2}$
∴直線MN恒過定點$（{1，\frac{1}{2}}）$．…（12分）

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查直線過定點，屬于中檔題．