Question

6．雙曲線(xiàn)C的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），漸近線(xiàn)方程為y=±$\sqrt{3}$x．
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)，該點(diǎn)到兩漸近線(xiàn)的距離分別為m、n．證明m•n是定值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)即可求出雙曲線(xiàn)的方程，
（2）設(shè)P（x₀，y₀），根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，即可求出m，n，計(jì)算m•n即可．

解答 解：（1）右焦點(diǎn)為F（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），漸近線(xiàn)方程為y=±$\sqrt{3}$x．
∴c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
∵c²=a²+b²，
∴a²=$\frac{1}{3}$，b²=1，
∴雙曲線(xiàn)C的方程位3x²-y²=1
（2）設(shè)P（x₀，y₀），已知漸近線(xiàn)的方程為：$y=±\sqrt{3}x$
該點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離為：$m=\frac{{|{\sqrt{3}{x_0}-{y_0}}|}}{{\sqrt{3+1}}}$
到另一條漸近線(xiàn)的距離為$n=\frac{{|{\sqrt{3}{x_0}+{y_0}}|}}{{\sqrt{3+1}}}$，
$m•n=\frac{{3{x_0}^2-{y_0}^2}}{2×2}=\frac{1}{4}$是定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和定值問(wèn)題，屬于中檔題