14.已知數(shù)列$\frac{1}{1×3}$,$\frac{1}{3×5}$,$\frac{1}{5×7}$,…,$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$,…的前n項(xiàng)和為Sn,計(jì)算得S1=$\frac{1}{3}$,S2=$\frac{2}{5}$,S3=$\frac{3}{7}$,照此規(guī)律,Sn=$\frac{n+1}{2}$.

分析 由已知條件利用裂項(xiàng)求和法求解.

解答 解:∵數(shù)列$\frac{1}{1×3}$,$\frac{1}{3×5}$,$\frac{1}{5×7}$,…,$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$,…的前n項(xiàng)和為Sn,
∴S1=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})$=$\frac{1}{3}$,
S2=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$)=$\frac{2}{5}$,
S3=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7})$=$\frac{3}{7}$,
照此規(guī)律,Sn=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$
=$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$
=$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})$
=$\frac{n}{2n+1}$.
故答案為:$\frac{n}{2n+1}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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