Question

2．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為A₁B₁的中點，則異面直線AE與A₁D所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AE與A₁D所成的角的余弦值．

解答 解：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，
則A（0，0，0），E（1，0，2），A₁（0，0，2），D（0，2，0），
$\overrightarrow{AE}$=（1，0，2），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，2，-2），
設異面直線AE與A₁D所成的角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{{A}_{1}D}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{A}_{1}D}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{{A}_{1}D}|}$=$\frac{|-4|}{\sqrt{5}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴異面直線AE與A₁D所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．