【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)求曲線在點處的切線的斜率;
(Ⅱ)判斷方程(為的導數(shù))在區(qū)間內的根的個數(shù),說明理由;
(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間內有且只有一個極值點,求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見解析(Ⅲ)
【解析】試題分析:(Ⅰ)求導.根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得.
(Ⅱ)設, .
由的單調性及因為, ,可知有且只有一個,使成立.即方程在區(qū)間內有且只有一個實數(shù)根.
(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間內有且只有一個極值點,由于,即在區(qū)間內有且只有一個零點,且在兩側異號.
由的單調性可知函數(shù)在處取得極大值.
當時,雖然函數(shù)在區(qū)間內有且只有一個零點,但在 兩側同號,不滿足在區(qū)間內有且只有一個極值點的要求.
若函數(shù)在區(qū)間內有且只有一個零點,且在兩側異號,
則只需滿足: .即可得到的取值范圍
試題解析:
(Ⅰ). .
(Ⅱ)設, .
當時, ,則函數(shù)為減函數(shù).
又因為, ,
所以有且只有一個,使成立.
所以函數(shù)在區(qū)間內有且只有一個零點,即方程在區(qū)間內有且只有一個實數(shù)根.
(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間內有且只有一個極值點,由于,即在區(qū)間內有且只有一個零點,且在兩側異號.
因為當時,函數(shù)為減函數(shù),所以在上, ,即成立,函數(shù)為增函數(shù);
在上, ,即成立,函數(shù)為減函數(shù).
則函數(shù)在處取得極大值.
當時,雖然函數(shù)在區(qū)間內有且只有一個零點,但在 兩側同號,不滿足在區(qū)間內有且只有一個極值點的要求.
由于 ,顯然.
若函數(shù)在區(qū)間內有且只有一個零點,且在兩側異號,
則只需滿足:
.即,解得.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐,側面是邊長為2的正三角形,且平面平面,底面是的菱形, 為棱上的動點,且.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)試確定的值,使得二面角的平面角余弦值為.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】年底某購物網(wǎng)站為了解會員對售后服務(包括退貨、換貨、維修等)的滿意度,從年下半年的會員中隨機調查了個會員,得到會員對售后服務的滿意度評分如下:
根據(jù)會員滿意度評分,將會員的滿意度從低到高分為三個等級:
滿意度評分 | 低于分 | 分到分 | 不低于分 |
滿意度等級 | 不滿意 | 比較滿意 | 非常滿意 |
(1)根據(jù)這個會員的評分,估算該購物網(wǎng)站會員對售后服務比較滿意和非常滿意的頻率;
(2)以(1)中的頻率作為概率,假設每個會員的評價結果相互獨立.
(i)若從下半年的所有會員中隨機選取個會員,求恰好一個評分比較滿意,另一個評分非常滿意的概率;
(ii)若從下半年的所有會員中隨機選取個會員,記評分非常滿意的會員的個數(shù)為,求的分布列,數(shù)學期望及方差.
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【題目】已知橢圓的右頂點與拋物線的焦點重合,橢圓的離心率為,過橢圓的右焦點且垂直于軸的直線截拋物線所得的弦長為.
(1)求橢圓和拋物線的方程;
(2)過點的直線與交于兩點,點關于軸的對稱點為,證明:直線恒過一定點.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系.曲線的極坐標方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))
(1)求曲線的直角坐標方程及曲線的極坐標方程;
(2)當()時在曲線上對應的點為,若的面積為,求點的極坐標,并判斷是否在曲線上(其中點為半圓的圓心)
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【題目】如圖,為保護河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時設立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80 m.經(jīng)測量,點A位于點O正北方向60 m處,點C位于點O正東方向170 m處(OC為河岸),tan∠BCO=.
(1)求新橋BC的長;
(2)當OM多長時,圓形保護區(qū)的面積最大?
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