Question

3．以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$與橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$有相同的焦點；
②以拋物線的焦點弦（過焦點的直線截拋物線所得的線段）為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線是相切的；
③設(shè)A、B為兩個定點，k為常數(shù)，若|PA|-|PB|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
④過定圓C上一點A作圓的動弦AB，O為原點，若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$則動點P的軌跡為橢圓．其中正確的個數(shù)是（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 對4個選項分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$的焦點坐標(biāo)為（±5，0），
橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$的焦點坐標(biāo)為（±5，0），
所以雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$與橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$有相同的焦點，正確；
②不妨設(shè)拋物線為標(biāo)準(zhǔn)拋物線：y²=2px （p＞0 ），即拋物線位于Y軸的右側(cè)，以X軸為對稱軸．
設(shè)過焦點的弦為PQ，PQ的中點是M，M到準(zhǔn)線的距離是d．
而P到準(zhǔn)線的距離d₁=|PF|，Q到準(zhǔn)線的距離d₂=|QF|．
又M到準(zhǔn)線的距離d是梯形的中位線，故有d=$\frac{|PF|+|QF|}{2}$，
由拋物線的定義可得：$\frac{|PF|+|QF|}{2}$=$\frac{|PQ|}{2}$=半徑．
所以圓心M到準(zhǔn)線的距離等于半徑，
所以圓與準(zhǔn)線是相切，正確．
③平面內(nèi)與兩個定點F₁，F(xiàn)₂的距離的差的絕對值等于常數(shù)k（k＜|F₁F₂|）的點的軌跡叫做雙曲線，
當(dāng)0＜k＜|AB|時是雙曲線的一支，當(dāng)k=|AB|時，表示射線，所以不正確；
④設(shè)定圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，點A（m，n），P（x，y），
由$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$則可知P為AB的中點，則B（2x-m，2y-n），
因為AB為圓的動弦，所以B在已知圓上，
把B的坐標(biāo)代入圓x²+y²+Dx+Ey+F=0得到P的軌跡仍為圓，
當(dāng)B與A重合時AB不是弦，所以點A除外，所以不正確．
故選B．

點評 本題主要考查了圓錐曲線的共同特征，同時考查了橢圓與雙曲線的性質(zhì)，考查的知識點較多，屬于中檔題．