Question

7．設(shè)變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{a{\;}_{1}x+a{\;}_{2}y-3≥0}\\{x≤3}\end{array}\right.$，其中（a₁，a₂是等比數(shù)列{an}的前兩項(xiàng)，且a₁a₂＞0），若z=3x-2y的最大值為9，最小值為-2，則等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n為$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)z=3x-2y的最大值為9，最小值為-2，求出a₁=1，a₂=3，結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，
∵z=3x-2y的最大值為9，最小值為-2，
∴作出直線3x-2y=9和3x-2y=-2，
則由圖象知3x-2y=9與x=3相交于C（3，0），
3x-2y=-2與x-y+1=0相交于B，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-2y=-2}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（0，1），
則B，C在直線a₁x+a₂y-3=0上
則$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}-3=0}\\{{a}_{2}-3=0}\end{array}\right.$，解得a₁=1，a₂=3，
則公比q=3，
則等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1），
故答案為：$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃以及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的最值求出首項(xiàng)和公比是解決本題的關(guān)鍵．