Question

3．定義空間兩個向量的一種運算$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞，則關(guān)于空間向量上述運算的以下結(jié)論中：
①$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=$\overrightarrow$?$\overrightarrow{a}$；     
②λ（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$）=（λ$\overrightarrow{a}$）?$\overrightarrow$；  
③（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）?$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{c}$）+（$\overrightarrow$?$\overrightarrow{c}$）；
④若$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow$=（x₂，y₂），則$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=|x₁y₂-x₂y₁|．
其中恒成立的有（　　）

• A． ①④
• B． ①③
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 ①和②需要根據(jù)定義列出左邊和右邊的式子，再驗證兩邊是否恒成立；③由定義驗證若$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow$，且λ＞0，結(jié)論成立，從而得到原結(jié)論不成立；④根據(jù)數(shù)量積求出cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞，再由平方關(guān)系求出sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞的值，代入定義進行化簡驗證即可．

解答 解：對于①，$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞，$\overrightarrow$?$\overrightarrow{a}$═|$\overrightarrow$|•|$\overrightarrow{a}$|sin＜$\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$＞，
故$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=$\overrightarrow$?$\overrightarrow{a}$恒成立；
對于②λ（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$）=λ（|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞），（λ$\overrightarrow{a}$）?$\overrightarrow$=|λ||$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|sin＜λ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞，
故λ（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$）=（λ$\overrightarrow{a}$）?$\overrightarrow$不會恒成立；
對于③，若$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow$，且λ＞0，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）?$\overrightarrow{c}$=（1+λ）|$\overrightarrow$|•|$\overrightarrow{c}$|sin＜$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞，
（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{c}$）+（$\overrightarrow$?$\overrightarrow{c}$）=|$λ\overrightarrow$|•|$\overrightarrow{c}$|sin＜$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞+|$\overrightarrow$|•|$\overrightarrow{c}$|sin＜$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞=（1+λ）|$\overrightarrow$|•|$\overrightarrow{c}$|sin＜$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞，
顯然（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）?$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{c}$）+（$\overrightarrow$?$\overrightarrow{c}$）不會恒成立；
對于④，cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$，sin＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\sqrt{1-（\frac{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}）^{2}}$，
即有$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•$\sqrt{1-（\frac{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}）^{2}}$=|$\overrightarrow{a}$|•$\sqrt{|\overrightarrow{|}^{2}-（\frac{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}}{|\overrightarrow{a}|}）^{2}}$
=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}-（\frac{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}}）^{2}}$
=$\sqrt{（{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}）（{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）-（{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}{{y}_{1}}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}{y}_{1}{y}_{2}}$=|x₁y₂-x₂y₁|．
則$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=|x₁y₂-x₂y₁|恒成立．
綜上可得，①④恒成立．
故選A．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積和向量的模的公式，利用給出的定義進行證明結(jié)論，計算量很大．