Question

12．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），g（x）=$\frac{ax}{x+1}$．
（1）若a=e，求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)h（x）的導數(shù)，分別令h′（x）＞0，h′（x）＜0，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）問題轉(zhuǎn)化為H（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-$\frac{ax}{x+1}$≥0在（-1，+∞）恒成立，求出函數(shù)的最小值，從而求出a的值．

解答 解：（1）h（x）=ln（x+1）-$\frac{ex}{x+1}$，
∴h′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{e}{{（x+1）}^{2}}$=$\frac{x+1-e}{{（x+1）}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得：x＞e-1，
令h′（x）＜0，解得：-1＜x＜e-1，
∴函數(shù)h（x）在（-1，e-1）遞減，在（e-1，+∞）遞增；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，
即H（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-$\frac{ax}{x+1}$≥0在（-1，+∞）恒成立，
∵H′（x）=$\frac{x+1-a}{{（x+1）}^{2}}$，
a≤0時，H（x）在（-1，+∞）單調(diào)遞增，H（x）≥0在（-1，+∞）不恒成立，
a＞0時，令H′（x）＞0，解得：x＞a-1，
令H′（x）＜0，解得：-1＜x＜a-1，
∴H（x）在（-1，a-1）遞減，在（a-1，+∞）遞增，
∴只需H（x）_最小值=H（a-1）=lna-（a-1）≥0即可，
顯然a=1時，不等式成立，
故a=1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．