Question

3．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC為正三角形，A₁在底面ABC上的射影是棱BC的中點(diǎn)O，OE⊥AA₁于E點(diǎn)．
（Ⅰ）證明OE⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）若AA₁=2AB=2，求四棱錐A₁-BB₁C₁C的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)OA，由正三角形的性質(zhì)得OA⊥BC，由射影性質(zhì)得A₁O⊥底面ABC，從而BC⊥平面AOA₁，進(jìn)而BC⊥EO，由OE⊥AA₁于E點(diǎn)，是OE⊥BB₁，由此能證明OE⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥AA₁，BC⊥BB₁，可得S_□BB1C1C=BC×BB₁=2，利用等面積可得OE，根據(jù)體積公式，可得四棱錐A₁-BB₁C₁C的體積．

解答 （Ⅰ）證明：連結(jié)OA，∵底面ABC為正三角形，∴OA⊥BC，
∵A₁在底面ABC上的射影是棱BC的中點(diǎn)O，
∴A₁O⊥底面ABC，又BC?面ABC，
∴A₁O⊥BC，∴BC⊥平面AOA₁，
∵OE?平面AOA₁，∴BC⊥EO，
∵OE⊥AA₁于E點(diǎn)，∴OE⊥BB₁，
又BC∩BB₁=B，∴OE⊥平面BB₁C₁C．
（2Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC⊥AA₁，∴BC⊥BB₁，
∵AA₁=2AB=2，
∴S_□BB1C1C=BC×BB₁=2，
Rt△AA₁O中，AA₁=2，AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A₁O=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，利用等面積可得OE=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{7}}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{21}}{8}$
故V_A-BB1C1C=$\frac{1}{3}$S_□BB1C1C×OE=$\frac{1}{3}×2×\frac{\sqrt{21}}{8}$=$\frac{\sqrt{21}}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理、四棱錐A₁-BB₁C₁C的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力．