Question

11．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，且|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$．
（1）求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角的大��；
（2）求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow$夾角的大��；
（3）求$\frac{|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}{|3\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$的值．

Answer 1

分析 （1）運用向量的平方即為模的平方和向量的數(shù)量積的定義和夾角范圍，即可求得夾角；
（2）運用向量的夾角公式，結(jié)合向量的平方即為模的平方，計算即可得到夾角；
（3）運用向量模的平方即為向量的平方，計算即可得到所求值．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，且|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$，
即有（3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）²=7，
即9${\overrightarrow{a}}^{2}$-12$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+4${\overrightarrow}^{2}$=7，
9-12×1×cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞+4=7，
即有cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{1}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞≤π，
可得$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角為$\frac{π}{3}$；
（2）由（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$，
|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{1+1+1}$=$\sqrt{3}$，
則cos＜$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|\overrightarrow|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由于0≤＜$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow$＞≤π，
即有$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow$夾角為$\frac{π}{6}$；
（3）|3$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|²=9${\overrightarrow{a}}^{2}$+6$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=9+6×$\frac{1}{2}$+1=13，
即有|3$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{13}$，
|3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²=9${\overrightarrow{a}}^{2}$-6$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=9-6×$\frac{1}{2}$+1=7，
即有|3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$，
故$\frac{|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}{|3\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{91}}{7}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要考查向量的平方即為模的平方，同時考查向量的夾角公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．