20.數(shù)列{an}中,a1=$\frac{1}{2}$,an+1=$\frac{n{a}_{n}}{(n+1)(n{a}_{n}+1)}$(n∈N+),則數(shù)列{an}的前2016項的和為$\frac{2016}{2017}$.

分析 將所給等式移項、取倒數(shù),設(shè)bn=$\frac{1}{n{a}_{n}}$,運用等差數(shù)列的定義和通項公式,可得an=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,再由數(shù)列的求和方法:裂項相消求和,化簡整理,即可得到所求和.

解答 解:an+1=$\frac{n{a}_{n}}{(n+1)(n{a}_{n}+1)}$,可得(n+1)an+1=$\frac{n{a}_{n}}{n{a}_{n}+1}$,
即有$\frac{1}{(n+1){a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n{a}_{n}}$+1,
設(shè)bn=$\frac{1}{n{a}_{n}}$,則bn+1=bn+1,
可得數(shù)列{bn}為首項為2,公差為1的等差數(shù)列,
即有bn=2+n-1=n+1,
可得an=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,
數(shù)列{an}的前2016項的和為1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$.
故答案為:$\frac{2016}{2017}$.

點評 本題考查數(shù)列的求和方法:裂項相消求和,同時考查等差數(shù)列的通項公式和運用,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

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