Question

5．已知函數(shù)f（x）=-x³-mx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m＜0），g（x）=-e^-x-1+1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，直線y=2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$與曲線y=f（x）相切；
（2）記函數(shù)h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），（f（x）≤g（x））}\\{g（x），（g（x）＜f（x））}\end{array}\right.$x∈R，當(dāng)m＞-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，試討論函數(shù)h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)（t，-t³-mt+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），可得切線的斜率，由切線的方程，可得m，t的方程，解得m=-2；
（2）由g（x）=0，解得x=-1，代入檢驗(yàn)成立；由y=f（x）與x軸相切，求得m的值，討論當(dāng)-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜m＜-$\frac{3}{2}$時(shí)，當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時(shí)，當(dāng)-$\frac{3}{2}$＜m＜0時(shí)，結(jié)合三次函數(shù)的極值和f（0）＞0，即可得到零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=-x³-mx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-3x²-m，
設(shè)切點(diǎn)為（t，-t³-mt+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），可得切線的斜率為-3t²-m，
由切線方程y=2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得-3t²-m=2，-t³-mt+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2t+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得t=0，m=-2，
則有實(shí)數(shù)m為-2時(shí)，直線y=2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$與曲線y=f（x）相切；
（2）g（x）=-e^-x-1+1為R上的增函數(shù)，且有g(shù)（-1）=0，
當(dāng)g（x）＜f（x），即-e^-x-1+1＜-x³-mx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入x=-1，
可得-1+1＜1+m+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即有m＞-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$成立；
當(dāng)g（x）≥f（x），即有-e^-x-1+1≥-x³-mx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由f（x）的圖象與x軸相切，可得f′（x）=0，
即有-3x²-m=0，又-x³-mx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=0，
解得m=-$\frac{3}{2}$，
則當(dāng)-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜m＜-$\frac{3}{2}$時(shí)，f（0）＞0，f（x）=0有兩個(gè)負(fù)根，一個(gè)正根，共3個(gè)不等的實(shí)根；
當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時(shí)，f（x）與x軸相切，可得f（x）=0有1個(gè)負(fù)根，1個(gè)正根，共2個(gè)不等的實(shí)根；
當(dāng)-$\frac{3}{2}$＜m＜0時(shí)，f（x）=0有1個(gè)正根．
綜上可得，當(dāng)-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜m＜-$\frac{3}{2}$時(shí)，h（x）有4個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時(shí)，h（x）有3個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)-$\frac{3}{2}$＜m＜0時(shí)，h（x）有2個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．