Question

14．若函數f（x）=x，則稱x為該函數的“不動點”．下列命題正確的序號是②．
①f（x）=x²的不動點至多有一個；
②若f（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=f（f（x）），則2014是函數g（x）的不動點；
③f（x）=e^x存在唯一的不動點．

Answer 1

分析 由不動點的定義，依次判斷方程f（x）=x是否有解即可．

解答 解：∵方程f（x）=x²=x有兩個解0，1；
∴f（x）=x²的不動點有兩個，故①錯誤；
∵f（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=f（f（x））=f（$\frac{1}{x}$）=x，x≠0；
∴2014是方程g（x）=x的解，
∴2014是函數g（x）的不動點，故②正確；
設h（x）=f（x）-x=e^x-x，
則h′（x）=e^x-1，
故h（x）在（-∞，0）上是減函數，在（0，+∞）上是增函數，
故h（x）≥h（0）=1，
故f（x）=e^x不存在的不動點，故③錯誤；
故答案為：②．

點評 本題考查了函數的性質的判斷與應用，同時考查了學生對新定義的接受能力．