Question

5．已知m∈R，函數(shù)f（x）=mx²-lnx
（1）不等式f（x）≥x恒成立，求m的最小值；
（2）當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時(shí)，證明方程f（x）=x有兩個(gè)不等的實(shí)根；
（3）當(dāng)m=1時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=kx有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的定義域，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m≥$\frac{x+lnx}{{x}^{2}}$恒成立即可；
（2）將m的值代入函數(shù)f（x）的表達(dá)式，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)m（x）=$\frac{1}{2}$x²-x和函數(shù)n（x）=lnx有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，畫(huà)出圖象讀出即可；
（3）將m=1的值代入f（x），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為p（x）=x²-kx和q（x）=lnx有2個(gè)不同的交點(diǎn)，通過(guò)畫(huà)出函數(shù)的草圖，判斷k的范圍即可．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
（1）不等式f（x）≥x恒成立，
即：m≥$\frac{x+lnx}{{x}^{2}}$恒成立，
令g（x）=$\frac{x+lnx}{{x}^{2}}$，（x＞0），
則g′（x）=$\frac{1-x-2lnx}{{x}^{3}}$，
由g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
由g′（x）＜0，解得：x＞1，
∴g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴g（x）_max=g（1）=1，
∴m≥1，m的最小值是1；
（2）m=$\frac{1}{2}$時(shí)：f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx，
若證明方程f（x）=x有兩個(gè)不等的實(shí)根，
即證明函數(shù)m（x）=$\frac{1}{2}$x²-x和函數(shù)n（x）=lnx有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
畫(huà)出函數(shù)m（x），n（x）的圖象，如圖示：
，
∴方程f（x）=x有兩個(gè)不等的實(shí)根；
（3）m=1時(shí)：f（x）=x²-lnx，
若關(guān)于x的方程f（x）=kx有兩個(gè)不等的實(shí)根，
則x²-kx=lnx有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
即p（x）=x²-kx和q（x）=lnx有2個(gè)不同的交點(diǎn)，
而p（x）的對(duì)稱軸是：x=$\frac{k}{2}$，只需$\frac{k}{2}$＞0即k＞0即可．

點(diǎn)評(píng) 不同考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．