Question

2．當(dāng)關(guān)于x的方程的根滿足下列條件時，求實數(shù)k的取值范圍．
（1）方程x²-4x+k+2=0的兩根都在區(qū)間[-1，3]上；
（2）方程x²+kx+1=0的一個根在區(qū)間（0，1）上，另一根在區(qū)間（1，2）上；
（3）方程x²+kx+2=0至少有一個實根小于-1．

Answer 1

分析 由條件利用一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得k的范圍．

解答 解：（1）令f（x）=x²-4x+k+2 的圖象的對稱軸為x=2，由方程x²-4x+k+2=0的兩根都在區(qū)間[-1，3]上，
可得$\left\{\begin{array}{l}△=16-4（k+2）≥0\\ f（-1）=7+k≥0\\ f（3）=k-1≥0\end{array}\right.$，由此求得1≤k≤2．
（2）設(shè)g（x）=x²+kx+1，方程x²+kx+1=0的一個根在區(qū)間（0，1）上，另一根在區(qū)間（1，2）上，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=k+2＜0}\\{g（0）=1＞0}\\{g（2）=5+2k＞0}\end{array}\right.$，求得-$\frac{5}{2}$＜k＜-2．
（3）設(shè)h（x）=x²+kx+2，∵方程x²+kx+2=0至少有一個實根小于-1，
若方程只有一個根小于-1，則由h（-1）=3-k＜0，求得k＞3．
若方程的2個根都小于-1，則有$\left\{\begin{array}{l}{{△=k}^{2}-8≥0}\\{-\frac{k}{2}＜-1}\\{h（-1）=3-k＞0}\end{array}\right.$，求得2$\sqrt{2}$≤k＜3．
若一個根為-1，另一個根小于-1，則由方程x²+kx+2=0可得1-k+2=0，k=3，
此時，方程為（x+1）（x+2）=0，滿足條件．
綜上可得，k≥2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．