Question

11．過原點的一條直線與雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）交于A，B兩點，P為雙曲線上不同于A，B的一個動點，且直線PA、PB的斜率之積為3，若拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的焦點到雙曲線C₁的漸近線的距離為2，則該拋物線C₂的標準方程為（　�。�

• A． y²=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$x
• B． y²=16x
• C． y²=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$x
• D． y²=8x

Answer 1

分析 設P（m，n），代入雙曲線的方程，設直線AB的方程為y=kx，代入雙曲線的方程可得A，B的坐標，運用直線的斜率公式，化簡整理可得b²=3a²，求得拋物線的焦點，運用點到直線的距離公式可得$\frac{\frac{p}{2}b}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=2，解方程可得p，進而得到所求拋物線的方程．

解答 解：設P（m，n），即有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，
即為m²b²-n²a²=a²b²，
設直線AB的方程為y=kx，代入雙曲線的方程可得
（b²-a²k²）x²=a²b²，
解得x=±$\frac{ab}{\sqrt{^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}}$，y=±$\frac{kab}{\sqrt{^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}}$，
即有A（$\frac{ab}{\sqrt{^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}}$，$\frac{kab}{\sqrt{^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}}$），B（-$\frac{ab}{\sqrt{^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}}$，-$\frac{kab}{\sqrt{^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}}$），
由題意可得k_PA•k_PB=3，即$\frac{n-{y}_{A}}{m-{x}_{A}}$•$\frac{n-{y}_{B}}{m-{x}_{B}}$=3，
即有$\frac{{n}^{2}（^{2}-{a}^{2}{k}^{2}）-{k}^{2}{a}^{2}^{2}}{{m}^{2}（^{2}-{a}^{2}{k}^{2}）-{a}^{2}^{2}}$=3，
代入m²b²=n²a²+a²b²，n²a²=a²b²+m²b²，
化簡可得b²=3a²，即b=$\sqrt{3}$a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2a，
拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的焦點（$\frac{p}{2}$，0）
到雙曲線C₁的漸近線y=$\frac{a}$x的距離為2，
可得$\frac{\frac{p}{2}b}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=2，即有$\frac{\sqrt{3}p}{2}$=4，
解得p=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，可得拋物線的方程為y²=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$x．
故答案為：y²=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$x．

點評 本題考查拋物線的方程的求法，考查直線方程和雙曲線的方程聯(lián)立，求交點，考查點到直線的距離公式的運用，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．