Question

6．在數(shù)列{a_n}中，已知a₁＜$\frac{3}{2}$，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），且$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}}$=2，則當(dāng)a₂₀₁₆-4a₁取得最小值時(shí)，a₁的值為$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式變形，可得$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，代入$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}}$=2，整理得到${a}_{2016}=\frac{{a}_{1}-2}{2{a}_{1}-3}$，把a(bǔ)₂₀₁₆-4a₁化為含有a₁的函數(shù)式，然后利用基本不等式求得最值，同時(shí)求得a₁的值．

解答 解：由a_n+1=a_n²-a_n+1，得a_n+1-1=a_n（a_n-1），可得a_n＞1，
則$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$．
∴2=$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}}$=（$\frac{1}{{a}_{1}-1}-\frac{1}{{a}_{2}-1}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}-1}-\frac{1}{{a}_{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{2015}-1}-\frac{1}{{a}_{2016}-1}$）
=（$\frac{1}{{a}_{1}-1}-\frac{1}{{a}_{2016}-1}$）．
化為${a}_{2016}=\frac{{a}_{1}-2}{2{a}_{1}-3}$，
∴a₂₀₁₆-4a₁=$\frac{{a}_{1}-2}{2{a}_{1}-3}-4{a}_{1}=\frac{{a}_{1}-2-8{{a}_{1}}^{2}+12{a}_{1}}{2{a}_{1}-3}$
=$\frac{-8{{a}_{1}}^{2}+13{a}_{1}-2}{2{a}_{1}-3}$=$-2（2{a}_{1}-3）-\frac{1}{2（2{a}_{1}-3）}-\frac{11}{2}$．
∵a₁＜$\frac{3}{2}$，∴2a₁-3＜0，
則a₂₀₁₆-4a₁=$-2（2{a}_{1}-3）-\frac{1}{2（2{a}_{1}-3）}-\frac{11}{2}$

$≥2\sqrt{-2（2{a}_{1}-3）•（-\frac{1}{2（2{a}_{1}-3）}）}-\frac{11}{2}$=$2-\frac{11}{2}=-\frac{7}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$（2{a}_{1}-3）^{2}=\frac{1}{4}$，即$2{a}_{1}-3=-\frac{1}{2}$，也就是${a}_{1}=\frac{5}{4}$時(shí)取等號(hào)．
故a₂₀₁₆-4a₁取得最小值時(shí)，a₁的值為$\frac{5}{4}$．
故答案為：$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．