Question

10．已知A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），P是直線上一點，$\frac{AP}{PB}$=2，則P點坐標為（$\frac{{x}_{1}+{2x}_{2}}{3}$，$\frac{{y}_{1}+{2y}_{2}}{3}$）或（2x₂-x₁，2y₂-y₁）．

Answer 1

分析 設(shè)出點P的坐標，表示出向量$\overrightarrow{AP}$和$\overrightarrow{PB}$，利用P是直線AB上一點，$\frac{AP}{PB}$=2，
得出$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，或$\overrightarrow{AP}$=-2$\overrightarrow{BP}$；由此列出方程組求出點P的坐標．

解答 解：設(shè)點P（x，y），則$\overrightarrow{AP}$=（x-x₁，y-y₁），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-x，y₂-y）；
由P是直線AB上一點，且$\frac{AP}{PB}$=2，
所以$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，或$\overrightarrow{AP}$=-2$\overrightarrow{BP}$，如圖所示；

當$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$時，$\left\{\begin{array}{l}{x{-x}_{1}=2{（x}_{2}-x）}\\{y{-y}_{1}=2{（y}_{2}-y）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+{2x}_{2}}{3}}\\{y=\frac{{y}_{1}+{2y}_{2}}{3}}\end{array}\right.$，所以P（$\frac{{x}_{1}+{2x}_{2}}{3}$，$\frac{{y}_{1}+{2y}_{2}}{3}$）；
當$\overrightarrow{AP}$=-2$\overrightarrow{BP}$時，$\left\{\begin{array}{l}{x{-x}_{1}=-2{（x}_{2}-x）}\\{y{-y}_{1}=-2{（y}_{2}-y）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x={2x}_{2}{-x}_{1}}\\{y={2y}_{2}{-y}_{1}}\end{array}\right.$，所以P（2x₂-x₁，2y₂-y₁）；
綜上，P點坐標為（$\frac{{x}_{1}+{2x}_{2}}{3}$，$\frac{{y}_{1}+{2y}_{2}}{3}$）或（2x₂-x₁，2y₂-y₁）．
故答案為：（$\frac{{x}_{1}+{2x}_{2}}{3}$，$\frac{{y}_{1}+{2y}_{2}}{3}$）或（2x₂-x₁，2y₂-y₁）．

點評 本題考查了平面向量的坐標運算與方程組的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．