Question

16．如圖所示，ABCD是矩形，平面ABCD與半圓O所在的平面垂直，E是半圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)．
（1）求證：平面ADE⊥平面BDE；
（2）若AD=$\frac{1}{2}$CD=1，當(dāng)點(diǎn)E使得△ABE的面積最大時(shí)，求二面角E-BD-A的余弦值的大�。�

Answer 1

分析 （1）可先證DA⊥BE，又BE⊥AE，可證BE⊥平面ADE，由BE?平面BDE，即可證明平面ADE⊥平面BDE；
（2）先證明使得△ABE的面積最大時(shí)，BE=AE，且BE⊥AE，然后以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BDA和平面DEB的法向量，利用向量法求出二面角E-BD-A的余弦值．

解答 證明：（1）∵ABCD是矩形，平面ABCD與半圓O所在的平面垂直，
∴DA⊥BE
∵E是半圓周上異于A，B的任意一點(diǎn)．
∴BE⊥AE
又∵DA∩AE=A
∴BE⊥平面ADE
∵BE?平面BDE
∴平面ADE⊥平面BDE；
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AE•EB•sin∠BEA≤$\frac{B{E}^{2}+A{E}^{2}}{4}$•sin∠BEA=$\frac{A{B}^{2}}{4}$•sin∠BEA（當(dāng)且僅當(dāng)BE=AE時(shí)，等號(hào)成立）
∴使得△ABE的面積最大時(shí)，BE=AE，且BE⊥AE，
由O點(diǎn)作AD平行線交CD于M點(diǎn)，以O(shè)E，OB，OM分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則由AD=$\frac{1}{2}$CD=1，可得：A（0，-1，0），B（0，1，0），C（0，1，1），D（0，-1，1），E（1，0，0），
$\overrightarrow{ED}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{EC}$=（-1，1，1），
平面BDA的法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），設(shè)平面EBD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則由：$\overrightarrow{ED}$•$\overrightarrow{n}$=0，可得：-x-y+z=0；由$\overrightarrow{EC}$•$\overrightarrow{n}$=0，可得-x+y+z=0，從而解得：$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{x=z}\end{array}\right.$，故可得：$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
從而設(shè)二面角E-BD-A為θ，可得：cosθ=cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{（0，0，1）•（1，0，1）}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故二面角E-BD-A的余弦值的大小為：$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的證明問(wèn)題，也考查了空間向量的應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，考查了二面角的求法和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．