Question

4．設函數(shù)f（x）=alnx+bx，g（x）=x²．
（1）若f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y=3x-4，求a，b的值．
（2）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），是否存在實數(shù)k和m，使得不等式f（x）≤kx+m，g（x）≥kx+m都在各自定義域內(nèi)恒成立，若存在，求出k和m的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由求導公式求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，由導數(shù)的幾何意義和條件列出方程組，求出a、b的值；
（2）由求導公式求出函數(shù)f′（x）、g′（x），由條件列出方程組求出a、b的值，判斷出（1，1）是f（x）和g（x）的公共點，并求出在該點處的公切線方程，將條件轉化為：f（x）≥2x-1和g（x）≤2x-1同時成立，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質，以及構造函數(shù)法、導數(shù)法進行證明．

解答 解：（1）由題意得f（x）=alnx+bx，則$f′（x）=\frac{a}{x}+b$，
因為f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y=3x-4，
所以$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=-1}\\{f′（1）=3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-1}\end{array}\right.$…（3分）
（2）由題意得，$f′（x）=\frac{a}{x}+b$，g′（x）=2x，
因為f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），
所以$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{a+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$…（5分）
由f（1）=g（1）=1得，所以（1，1）是f（x）和g（x）的公共點，
則函數(shù)f（x）、g（x）在（1，1）處的切線：y=2x-1．
若存在實常數(shù)k和m，使得f（x）≤kx+m和g（x）≥kx+m成立，
即g（x）≥2x-1和f（x）≤2x-1同時成立，
∵g（x）-2x+1=x²-2x+1=（x-1）²≥0，
∴g（x）≥2x-1，
則g（x）≥2x-1都在定義域內(nèi)恒成立．…（8分）
令h（x）=f（x）-（2x-1）=lnx-x+1，則h′（x）=$\frac{1}{x}-1$=$\frac{1-x}{x}$，
由h′（x）＞0得0＜x＜1，由h′（x）＜0得x＞1，
∴h（x） 在（0，1）遞增，（1，+∞）遞減，
∴h（x）_max=h（1）=0，
則h（x）≤0，即f（x）≤2x-1成立．…（12分）
綜上可得，存在k=2，m=-1使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m恒成立．…（13分）

點評 本題考查求導公式，導數(shù)的幾何意義，以及導數(shù)與函數(shù)的單調性、最值問題，考查構造法、方程思想，以及轉化思想．