Question

1．二項式（x+$\frac{1}{\root{3}{x}}$-4y）⁷展開式中不含x的項的系數(shù)之和為-4⁷-4⁴${∁}_{7}^{4}$．

Answer 1

分析 二項式（x+$\frac{1}{\root{3}{x}}$-4y）⁷展開式中的通項公式：T_r+1=${∁}_{7}^{r}$（-4y）^7-r$（x+\frac{1}{\root{3}{x}}）^{r}$，令$（x+\frac{1}{\root{3}{x}}）^{r}$的通項公式為：T_k+1=${∁}_{r}^{k}$${x}^{r-k}（\frac{1}{\root{3}{x}}）^{k}$=${∁}_{r}^{k}$${x}^{r-\frac{4k}{3}}$，（r=0，1，…，7）．令r-$\frac{4k}{3}$=0，通過討論即可得出．

解答 解：二項式（x+$\frac{1}{\root{3}{x}}$-4y）⁷展開式中的通項公式：T_r+1=${∁}_{7}^{r}$（-4y）^7-r$（x+\frac{1}{\root{3}{x}}）^{r}$，
令$（x+\frac{1}{\root{3}{x}}）^{r}$的通項公式為：T_k+1=${∁}_{r}^{k}$${x}^{r-k}（\frac{1}{\root{3}{x}}）^{k}$=${∁}_{r}^{k}$${x}^{r-\frac{4k}{3}}$，（r=0，1，…，7）．
令r-$\frac{4k}{3}$=0，可得：r=k=0；k=3，r=4；
∴二項式（x+$\frac{1}{\root{3}{x}}$-4y）⁷展開式中不含x的項的系數(shù)之和為：（-4）⁷+${∁}_{7}^{4}（-4）^{3}$×${∁}_{4}^{3}$=-4⁷-4⁴${∁}_{7}^{4}$．
故答案為：-4⁷-4⁴${∁}_{7}^{4}$．

點評 本題考查了二項式定理的應用，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．