Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1-a_n=2；數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1-b_n=2^n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

1

an•an+1

}、{

an

bn

}的前n項(xiàng)和S_n，T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1-a_n=2，a₁=1，能求出a_n=2n-1，由b₁=1，b_n+1-b_n=2-1^n-1，得b_n-b₁-2^n-1-1，由此能求出b_n=2^n-1．
（2）由裂項(xiàng)相消得Sn=

1

2

(1-

1

2n+1

)，Tn=1+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

，由此利用錯(cuò)位相減法能求出T_n．

解答： 解：（1）∵a_n+1-a_n=2=常數(shù)，
∴{a_n}是等差數(shù)列
∵a₁=1，d=2
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1
∵b₁=1，b_n+1-b_n=2-1^n-1
∴(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)=2n-2+2n-3+…+2+1
=

1-2n-1

1-2

=2^n-1-1
∴b_n-b₁-2^n-1-1
∴b_n=2^n-1．（歸納猜想適當(dāng)扣分）
（2）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴S_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)．
∴Sn=

1

2

(1-

1

2n+1

)，
∵

an

bn

=

2n-1

2n-1

，
∴Tn=1+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

∴

1

2

Tn=  

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

∴

1

2

Tn=1+ 2(1- 

1

2n-1

)-

2n-1

2n

，
∴T_n=2+4-

2n+7

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．