Question

在平面直角坐標系中，若點M，N同時滿足：①點M，N都在函數(shù)y=f（x）圖象上；②點M，N關(guān)于原點對稱，則稱點對（M，N）是函數(shù)y=f（x）的一個“望點對”（規(guī)定點對（M，N）與點對（N，M）是同一個“望點對”）．那么函數(shù)f（x）=

1 x   (x＞0) -x2-2x  (x≤0)

的“望點對”的個數(shù)為

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)“望點對”的定義可知，只需要利用圖象，作出函數(shù)f（x）=

1

x

，x＞0關(guān)于原點對稱的圖象，利用對稱圖象在x≤0上兩個圖象的交點個數(shù)，即為“望點對”的個數(shù)．

解答： 解：由題意知函數(shù)f（x）=

1

x

，x＞0關(guān)于原點對稱的圖象為-y=-

1

x

，
即y=

1

x

，x＜0
在x≤0上作出兩個函數(shù)的圖象如圖，
由圖象可知兩個函數(shù)在x＜0上的交點個數(shù)只有一個，
∴函數(shù)f（x）的“望點對”有1個，
又∵f（0）=0，
∴（0，0）也是函數(shù)f（x）的一個“望點對”，
∴函數(shù)f（x）的“望點對”共有2個．
另解：函數(shù)f（x）=-x²-2x，x≤0，
關(guān)于原點對稱的函數(shù)為-y=-x²+2x，
即y=x²-2x，x≥0，
作出函數(shù)y=x²-2x，x≥0和函數(shù)f（x）的圖象，
由圖2可知，兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)有2個，
即函數(shù)f（x）的“望點對”共有2個．
故答案為：2．

點評：本題主要考查新定義題目，讀懂題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵．本題主要容易出錯的地方在判斷原點時，容易漏掉原點也滿足條件．