過點P(1,0)作曲線C:y=xk(x∈(0,+∞),k>1)的切線,切點為Q1,設(shè)點Q1在x軸上的投影是點P1;又過點P1作曲線C的切線,切點為Q2,設(shè)點Q2在x軸上的投影是點P2;…依次下去,得到一系列點Q1,Q2,…Qn,…,設(shè)點Qn的橫坐標(biāo)為an
(Ⅰ)求證:an=(
k
k-1
)n,n∈N*
;
(Ⅱ)求證:an≥1+
n
k-1
;
(Ⅲ)求證:
1
a1
+
2
a2
+
3
a3
…+
n
an
k2
-k.
考點:數(shù)列與不等式的綜合
專題:綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用
分析:(Ⅰ)對函數(shù)y=xk求導(dǎo),求出過曲線上的點Qn的切線方程,結(jié)合其投影點求得數(shù)列{an}是首項a1=
k
k-1
,公比為
k
k-1
的等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項公式得答案;
(Ⅱ)把數(shù)列的通項公式變形,運用二項式定理放縮證明an≥1+
n
k-1
;
(Ⅲ)由錯位相減法求出
1
a1
+
2
a2
+…+
n
an
,然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明答案.
解答: 證明:(Ⅰ)對y=xk求導(dǎo)數(shù),
得y′=kxk-1
點Qn(an,ank)的切線方程是y-ank=kank-1(x-an).
當(dāng)n=1時,切線過點P1(1,0),
即0-a1k=ka1k-1(1-a1),
a1=
k
k-1

當(dāng)n>1時,切線過點Pn-1(an-1,0),
即0-ank=kank-1(an-1-an),
an
an-1
=
k
k-1

∴數(shù)列{an}是首項a1=
k
k-1
,公比為
k
k-1
的等比數(shù)列,
數(shù)列{an}的通項公式為an=(
k
k-1
)n
,n∈N*;
( II)應(yīng)用二項式定理,得an=(
k
k-1
)n=(1+
1
k-1
)n

=
C
0
n
+
C
1
n
1
k-1
+
C
2
n
•(
1
k-1
)2+…+
C
n
n
•(
1
k-1
)n
>1-
n
k-1
; 
( III)an=(
k
k-1
)n
,
令q=
k
k-1
,則an=qn,
Sn=
1
a1
+
2
a2
+
3
a3
+…+
n
an
=
1
q
+
2
q2
+…+
n
qn

qSn=
1
q2
+
2
q3
+…+
n
qn+1
,
兩式相減,得
1
2
Sn=
1
q
+
1
q2
+…+
1
qn
-
n
qn+1
=
1
q
(1-
1
qn
)
1-
1
q
-
n
qn+1
,
∴Sn=q-
n+q
qn
,
則Sn=
k
k-1
-
n+
k
k-1
(
k
k-1
)n

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
當(dāng)n=1時,Sn=
k-1
k
k2-k(k>1)

假設(shè)n=m時結(jié)論成立,即
1
a1
+
2
a2
+…+
m
am
k2-k
,
則當(dāng)n=m+1時,
1
a1
+
2
a2
+…+
m
am
+
m+1
am+1
k2+k+
m+1
(
k
k+1
)m+1

=k2+k+(m+1)(1+
1
k
)m+1
<k2+3k+2=(k+1)2+k+1.
綜上,
1
a1
+
2
a2
+
3
a3
…+
n
an
k2
-k.
點評:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程,考查了等比關(guān)系的確定,訓(xùn)練了利用放縮法和數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式,是壓軸題.
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(1)求數(shù)列{an}的通項公式an與前n項和Sn;
(2)記Tn為數(shù)列{
1
anan+1
}的前n項和,若Tn≤λan+1對任意的正整數(shù)n都成立,求實數(shù)λ的最小值.

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某志愿者到某山區(qū)小學(xué)支教,為了解留守兒童的幸福感,該志愿者對某班40名學(xué)生進行了一次幸福指數(shù)的調(diào)查問卷,并用莖葉圖表示如下(注:圖中幸福指數(shù)低于70,說明孩子幸福感弱;幸福指數(shù)不低于70,說明孩子幸福感強).
(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表,并判斷能否有95%的把握認(rèn)為孩子的幸福感強與是否是留守兒童有關(guān)?
幸福感強幸福感弱合 計
留守兒童
非留守兒童
合 計
(Ⅱ)從15個留守兒童中按幸福感強弱進行分層抽樣,共抽取5人,又在這5人中隨機抽取2人進行家訪,求這2個學(xué)生中恰有一人幸福感強的概率.
參考公式:Χ2=
n(n11n22-n12n21)2
n1+n2+n+1n+2
;  附表:
P(x2≥k)0.0500.010
k3.8416.635

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

中心在原點,焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓C的離心率為
1
2
,它的一個焦點和拋物線y2=-4x的焦點重合,
(1)求橢圓C的方程;
(2)過直線l:x=4上一點M引橢圓C的兩條切線,切點分別是A,B,求證:AB過橢圓C的右焦點F;(可用結(jié)論:橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1上點P(x0,y0)處切線方程:
x0x
a2
+
y0y
b2
=1)
(3)在(2)的條件下,是否存在λ,使得λ|AF|•|BF|=|AF|+|BF|恒成立?若存在,求λ的值,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知cosα=-
3
5
,且tanα>0.
(1)求sinα,tanα的值;
(2)求
tanαcos3α
1-sinα
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=2x+
1
x
(x≥
1
2
)的值域為
 

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