考點:數(shù)列與不等式的綜合
專題:綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用
分析:(Ⅰ)對函數(shù)y=x
k求導(dǎo),求出過曲線上的點Q
n的切線方程,結(jié)合其投影點求得數(shù)列{a
n}是首項
a1=,公比為
的等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項公式得答案;
(Ⅱ)把數(shù)列的通項公式變形,運用二項式定理放縮證明a
n≥1+
;
(Ⅲ)由錯位相減法求出
++…+,然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明答案.
解答:
證明:(Ⅰ)對y=x
k求導(dǎo)數(shù),
得y′=kx
k-1,
點Q
n(a
n,a
nk)的切線方程是y-a
nk=ka
nk-1(x-a
n).
當(dāng)n=1時,切線過點P
1(1,0),
即0-a
1k=ka
1k-1(1-a
1),
得
a1=;
當(dāng)n>1時,切線過點P
n-1(a
n-1,0),
即0-a
nk=ka
nk-1(a
n-1-a
n),
得
=.
∴數(shù)列{a
n}是首項
a1=,公比為
的等比數(shù)列,
數(shù)列{a
n}的通項公式為
an=()n,n∈N
*;
( II)應(yīng)用二項式定理,得
an=()n=(1+)n=
+•+•()2+…+•()n>1-;
( III)
an=()n,
令q=
,則
an=qn,
Sn=+++…+=
++…+,
qSn=++…+,
兩式相減,得
Sn=++…+-=
-,
∴S
n=
q-,
則S
n=
-.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
當(dāng)n=1時,
Sn=<k2-k(k>1);
假設(shè)n=m時結(jié)論成立,即
++…+<k2-k,
則當(dāng)n=m+1時,
++…++<k2+k+=
k2+k+(m+1)(1+)m+1<k
2+3k+2=(k+1)
2+k+1.
綜上,
++…+<k2-k.
點評:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程,考查了等比關(guān)系的確定,訓(xùn)練了利用放縮法和數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式,是壓軸題.