Question

3．若橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)與拋物線y²=8x的焦點(diǎn)相同，離心率為$\frac{1}{2}$，則此橢圓的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{48}$+$\frac{{y}^{2}}{64}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{64}$+$\frac{{y}^{2}}{48}$=1

Answer 1

分析 先根據(jù)拋物線的方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得橢圓的半焦距c，根據(jù)橢圓的離心率求得a，最后根據(jù)a和c的關(guān)系求得b．

解答 解：拋物線y²=8x，
∴p=4，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
∵橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線y²=8x的焦點(diǎn)相同，
∴橢圓的半焦距c=2，即a²-b²=4，
∵e=$\frac{2}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=4，b=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的問題．同時考查拋物線的方程和性質(zhì)，要熟練掌握橢圓方程中a，b和c的關(guān)系，求橢圓的方程時才能做到游刃有余．