Question

16．如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁F₂，離心率為e₁；雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為₃F₄，離心率為e₂，已知e₁e₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且|F₂F₄|=$\sqrt{3}$-1．
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）過(guò)F₁作C₁的不垂直于y軸的弦AB，M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線OM與C₂交于P，Q兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形APBQ面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用離心率公式，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓和雙曲線的方程；
（2）可設(shè)直線AB的方程為x=my-1．聯(lián)立橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，得（m²+2）y²-2my-1=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，設(shè)出PQ的方程，聯(lián)立雙曲線方程，求得P，Q的坐標(biāo)和PQ的長(zhǎng)，再由四邊形APBQ面積S=$\frac{1}{2}$|PQ|•2d，化簡(jiǎn)整理，即可得到最小值．

解答 解：（1）因?yàn)閑₁e₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$•$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即a⁴-b⁴=$\frac{3}{4}$a⁴，
因此a²=2b²，即a=$\sqrt{2}$b，
從而F₂（b，0），F(xiàn)₄（$\sqrt{3}$b，0），
于是$\sqrt{3}$b-b=|F₂F₄|=$\sqrt{3}$-1，所以b=1，a=$\sqrt{2}$，
故橢圓C₁方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，雙曲線C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1．
（2）因?yàn)橹本�AB不垂直于y軸且過(guò)點(diǎn)F₁（-1，0），
故可設(shè)直線AB的方程為x=my-1．
由聯(lián)立橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，得（m²+2）y²-2my-1=0，
易知此方程的判別式大于0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁，y₂是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以y₁+y₂=$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-1}{2+{m}^{2}}$，
因此x₁+x₂=m（y₁+y₂）-2=$\frac{-4}{2+{m}^{2}}$，AB的中點(diǎn)為M（$\frac{-2}{2+{m}^{2}}$，$\frac{m}{2+{m}^{2}}$），
故直線PQ的斜率為-$\frac{m}{2}$，PQ的方程為y=-$\frac{m}{2}$x，即mx+2y=0．
由聯(lián)立雙曲線方程，得（2-m²）x²=4，所以2-m²＞0，x²=$\frac{4}{2-{m}^{2}}$，y²=$\frac{{m}^{2}}{2-{m}^{2}}$，
從而|PQ|=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{{m}^{2}+4}{2-{m}^{2}}}$，
設(shè)點(diǎn)A到直線PQ的距離為d，則B點(diǎn)到直線PQ的距離也為d，
所以2d=$\frac{|m{x}_{1}+2{y}_{1}|+|m{x}_{2}+2{y}_{2}|}{\sqrt{4+{m}^{2}}}$，
因?yàn)辄c(diǎn)A，B在直線mx+2y=0的異側(cè)，所以（mx₁+2y₁）（mx₂+2y₂）＜0，
于是|mx₁+2y₁|+|mx₂+2y₂|=|mx₁+2y₁-mx₂-2y₂|，
從而2d=$\frac{（{m}^{2}+2）|{y}_{1}-{y}_{2}|}{\sqrt{4+{m}^{2}}}$，
又因?yàn)閨y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{m}^{2}}}{2+{m}^{2}}$，
所以2d=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{m}^{2}}}{\sqrt{4+{m}^{2}}}$，
四邊形APBQ面積S=$\frac{1}{2}$|PQ|•2d=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{m}^{2}}}{\sqrt{2-{m}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$•$\sqrt{-1+\frac{3}{2-{m}^{2}}}$
而0＜2-m²＜2，故當(dāng)m=0時(shí)，S取得最小值2．
四邊形APBQ面積的最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查離心率的公式和方程的運(yùn)用，同時(shí)考查直線和橢圓方程、雙曲線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．