Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²，g（x）=f（x）+f′（x），（a＞0）
（1）求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（2）若x∈[0，2]，函數(shù)g（x）在x=0處取得最大值，在x=2處取得最小值，求a的范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f'（x）=3x（ax-2），利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的極大值和極小值．
（2）g（x）=ax³+3（a-1）x²-6x，則g'（x）=3ax²+6（a-1）x-6．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合已知條件能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³-3x²，
∴f'（x）=3x（ax-2），
令f'（x）＜0得0＜x＜

2

a

，…（2分）
增區(qū)間為(-∞，0)，(

2

a

，+∞)；減區(qū)間為(0，

2

a

)
∴y_極大值=f（0）=0，y極小值=f(

2

a

)=-

4

a2

…（5分）
（2）g（x）=ax³+3（a-1）x²-6x，
則g'（x）=3ax²+6（a-1）x-6…（6分）
令g'（x）=0，得x1=

1-a+ a2+1

a

＞0或x2=

1-a- a2+1

a

＜0，
x₂∉[0，2]，…（8分）
當(dāng)x₁∈[0，2]，則g（x）在[0，x₁]單調(diào)減，在[x₁，2]單調(diào)增，不合舍去．故x₁≥2…（10分）
∴由

x1≥2 a＞0

，得a的取值范圍是（0，

3

4

]．…（12分）

點評：本題考查函數(shù)的極值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．