Question

2．在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n+5，n∈N₊．
（1）證明：數(shù)列{a_n+5}是等比數(shù)列．
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=2a_n+5，n∈N₊，變形為a_n+1+5=2（a_n+5），利用等比數(shù)列的定義即可證明．
（2）由（1）可得：a_n+5=8×2^n-1，即a_n=2ⁿ⁺²-5．再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n+1=2a_n+5，n∈N₊，∴a_n+1+5=2（a_n+5），a₁+5=8．
∴數(shù)列{a_n+5}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為8，公比為2．
（2）解：由（1）可得：a_n+5=8×2^n-1，∴a_n=2ⁿ⁺²-5．
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2³+2⁴+…+2ⁿ⁺²-5n
=$\frac{8（{2}^{n}-1）}{2-1}$-5n=2ⁿ⁺³-8-5n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及其求和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．