【題目】如圖，三棱柱中，，平面.

（1）證明：；

（2）若，，求二面角的余弦值.

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）余弦值為.

【解析】分析: (1)先證明平面,即證.(2)先證明,,再建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求二面角的余弦值.

詳解:（1）證明：∵平面，∴.

∵，

∴，∴平面，∴.

（2）解：∵平面，∴，

∴四邊形為菱形，∴.

又，∴與均為正三角形.

取的中點(diǎn)，連接，則.

由（1）知，則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，，.

∴，，.

設(shè)平面的法向量為，

則，

∴∴

取，則為平面的一個(gè)法向量.

又為平面的一個(gè)法向量，

∴.

又二面角的平面角為鈍角，所以其余弦值為.

點(diǎn)睛:本題主要考查空間位置關(guān)系的證明和二面角的平面角的計(jì)算,主要考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知線C的極坐標(biāo)方程為：ρ＝2sin（θ+），過(guò)P（0，1）的直線l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)．

（1）求出直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程．

（2）求｜PM｜2+｜PN｜2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示, 是邊長(zhǎng)為3的正方形, 平面與平面所成角為.

(Ⅰ)求證： 平面；

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)的位置,使得平面,并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下面是一幅統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)此圖得到的以下說(shuō)法中正確的是（ ）

A.這幾年生活水平逐年得到提高

B.生活費(fèi)收入指數(shù)增長(zhǎng)最快的一年是2015年

C.生活價(jià)格指數(shù)上漲速度最快的一年是2016年

D.雖然2017年的生活費(fèi)收入增長(zhǎng)緩慢，但生活價(jià)格指數(shù)略有降低，因而生活水平有較大的改善

E.2016年生活價(jià)格指數(shù)上漲的速度與2017年生活價(jià)格指數(shù)下降的速度相同

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了調(diào)查中學(xué)生每天玩游戲的時(shí)間是否與性別有關(guān),隨機(jī)抽取了男、女學(xué)生各50人進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)其日均玩游戲的時(shí)間繪制了如下的頻率分布直方圖.

（1）求所調(diào)查學(xué)生日均玩游戲時(shí)間在分鐘的人數(shù);

（2）將日均玩游戲時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生稱為“游戲迷”,已知“游戲迷”中女生有6人;根據(jù)已知條件,完成下面的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“游戲迷”和性別關(guān)系;

非游戲迷

游戲迷

合計(jì)

男

女

合計(jì)

附:(其中為樣本容量).

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某廠推出品牌為“玉兔”的新產(chǎn)品，生產(chǎn)“玉兔”的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件“玉兔”需要增加投入100元，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，總收益P（單位：元）與月產(chǎn)量x（單位：件）滿足（注：總收益=總成本+利潤(rùn)）

（1）請(qǐng)將利潤(rùn)y（單位：元）表示成關(guān)于月產(chǎn)量x（單位：件）的函數(shù)；

（2）當(dāng)月產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下表表示的是某款車(chē)的車(chē)速與剎車(chē)距離的關(guān)系，試分別就，，三種函數(shù)關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，并探討最佳模擬，根據(jù)最佳模擬求車(chē)速為120km/h時(shí)的剎車(chē)距離．

車(chē)速/（km/h）

10

15

30

40

50

剎車(chē)距離/m

4

7

12

18

25

車(chē)速/（（km/h）

60

70

80

90

100

剎車(chē)距離/m

34

43

54

66

80

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開(kāi)展滑雪促銷(xiāo)活動(dòng)．該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過(guò)1小時(shí)離開(kāi)的概率分別為，；1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)離開(kāi)的概率分別為，；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí)．

(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；

(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某縣共有90間農(nóng)村淘寶服務(wù)站，隨機(jī)抽取5間，統(tǒng)計(jì)元旦期間的網(wǎng)購(gòu)金額(單位：萬(wàn)元)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù)．

（1）根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值；

（2）若網(wǎng)購(gòu)金額(單位：萬(wàn)元)不小于18的服務(wù)站定義為優(yōu)秀服務(wù)站，其余為非優(yōu)秀服務(wù)站．根據(jù)莖葉圖推斷90間服務(wù)站中有幾間優(yōu)秀服務(wù)站？

（3）從隨機(jī)抽取的5間服務(wù)站中再任取2間作網(wǎng)購(gòu)商品的調(diào)查，求恰有1間是優(yōu)秀服務(wù)站的概率．

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