Question

2．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，a=4$\sqrt{3}$，b=4，cosA=-$\frac{1}{2}$．
（1）求角B的大��；
（2）若f（x）=cos2x+$\frac{c}{2}$sin²（x+B），求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，求角B的大��；
（2）由余弦定理求出c，再化簡(jiǎn)函數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）由$cosA=-\frac{1}{2}$得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
由$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$得sinB=$\frac{1}{2}$，又b＜a，B＜A得B=$\frac{π}{6}$；
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA可得48=16+c²+4c，所以c=4．
所以f（x）=cos2x+2sin²（x+$\frac{π}{6}$）=cos2x+1-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=1+sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ（k∈Z）
所以所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．