Question

9．設(shè)曲線y=$\sqrt{x}$有一點(diǎn)P（x₁，y₁），與曲線切于點(diǎn)P的切線為m，若直線n過P且與m垂直，則稱n為曲線在點(diǎn)P處的法線，設(shè)n交x軸于點(diǎn)Q，又作PR⊥x軸于R，則RQ的長(zhǎng)為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 求出曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和法線的斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得法線方程，可令y=0，求得Q的坐標(biāo)，計(jì)算即可得到所求長(zhǎng)．

解答 解：y=$\sqrt{x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
可得切線的斜率為$\frac{1}{2\sqrt{{x}_{1}}}$，法線的斜率為-2$\sqrt{{x}_{1}}$，
即有直線n的方程為y-$\sqrt{{x}_{1}}$=-2$\sqrt{{x}_{1}}$（x-x₁），
令y=0，可得x=x₁+$\frac{1}{2}$，即Q（x₁+$\frac{1}{2}$，0），又R（x₁，0），
則|QR|=$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查直線方程的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．