Question

20．已知a＞1，f（x）=x²-a^x，當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，均有f（x）＜$\frac{2}{3}$，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （1，2）
• B． （1，3]
• C． （1，$\frac{3}{2}$）
• D． （1，2]

Answer 1

分析 利用函數(shù)的單調(diào)性求f（x）在x∈（-1，1）的值域，根據(jù)f（x）＜$\frac{2}{3}$建立關(guān)系，可得a的范圍．

解答 解：∵a＞1，函數(shù)y=-a^x是減函數(shù)，
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，函數(shù)y=x²在（-1，0）時(shí)單調(diào)遞減，在（0，1）單調(diào)遞增，
∴f（x）=x²-a^x在x∈（-1，1）的值域?yàn)椋?1，1-$\frac{1}{a}$），即1$-\frac{1}{a}$$≤\frac{2}{3}$，
解得：a≤3．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，3]
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)的值域的求法，利用值域范圍來(lái)解參數(shù)的范圍問(wèn)題．屬于基礎(chǔ)題．