Question

5．在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為AD，A₁B₁的中點．
（1）求證：DB₁⊥CD₁；
（2）求三棱錐B-EFC的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出CD₁⊥B₁C₁，DC₁⊥CD₁，從而CD₁⊥平面DB₁C₁，由此能證明DB₁⊥CD₁．
（2）三棱錐B-EFC的體積V_B-EFC=V_F-BEC．由此能求出結果．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
B₁C₁⊥面CC₁D₁D，CD₁?面CC₁D₁D，∴CD₁⊥B₁C₁，
∵CC₁D₁D是正方形，∴DC₁⊥CD₁，
又DC₁∩B₁C₁=C₁，∴CD₁⊥平面DB₁C₁，
又DB₁?平面DB₁C₁，∴DB₁⊥CD₁．…（6分）
解：（2）F到平面BEC的距離BB₁=2，
S_△BEC=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
∴三棱錐B-EFC的體積${V_{B-EFC}}={V_{F-BEC}}=\frac{1}{3}•{S_{△BEC}}•B{B_1}=\frac{4}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用．