Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AE⊥平面ABCD，EF∥CD，BC=CD=AE=EF=

1

2

AD=1．
（Ⅰ）求證：CE∥平面ABF；
（Ⅱ）求證：BE⊥AF；
（Ⅲ）在直線BC上是否存在點M，使二面角E-MD-A的大小為

π

6

？若存在，求出CM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應用

分析：（I）作 FG∥EA，AG∥EF，連結(jié)EG交AF于H，連結(jié)BH，BG，由題設(shè)條件推導出四邊形AEFG為正方形，從而得到CDAG為平行四邊形，由此能夠證明CE∥面ABF．
（Ⅱ）利用已知條件推導出BG⊥面AEFG，從而得到AF⊥平面BGE，由此能夠證明AF⊥BE．
（Ⅲ）以A為原點，AG為x軸，AE為y軸，AD為z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz．利用向量法能夠求出結(jié)果．

解答： （I）證明：如圖，作 FG∥EA，AG∥EF，
連結(jié)EG交AF于H，連結(jié)BH，BG，
∵EF∥CD且EF=CD，
∴AG∥CD，即點G在平面ABCD內(nèi)．
由AE⊥平面ABCD，知AE⊥AG，
∴四邊形AEFG為正方形，
∴CDAG為平行四邊形，…（2分）
∴H為EG的中點，B為CG中點，∴BH∥CE，
∴CE∥面ABF．…（4分）
（Ⅱ）證明：∵在平行四邊形CDAG中，∠ADC=90°，
∴BG⊥AG．又由AE⊥平面ABCD，知AE⊥BG，
∴BG⊥面AEFG，∴BG⊥AF．…（6分）
又∵AF⊥EG，∴AF⊥平面BGE，
∴AF⊥BE．…（8分）
（Ⅲ）解：如圖，以A為原點，AG為x軸，AE為y軸，AD為z軸，
建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz．
由題意得：A（0，0，0），G（1，0，0），E（0，0，1），D（0，2，0），
設(shè)M（1，y₀，0），則

ED

=(0 ，  2 ，  -1)，

DM

=(1，y0-2，0)，
設(shè)面EMD的一個法向量

n

=（x，y，z），
則

n • ED =2y-z=0 n • DM =x+(y0-2)y=0

，令y=1，得z=2，x=2-y₀，
∴

n

=（2-y₀，1，2）．…（10分）
又∵

AE

⊥面 AMD，
∴

AE

=(0，  0，  1)為面AMD的法向量，
∵二面角E-MD-A的大小為

π

6

，
∴|cos＜

n

，

AE

＞|=|

2

1× (2-y0)2+1+4

|=cos

π

6

=

3

2

，
解得y0=2±

3

3

，
∴在BC上存在點M，且|CM|=|2-(2±

3

3

)|=

3

3

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與直線垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷，解題時要注意向量法的合理運用．