Question

如圖，已知拋物線C：y²=x和⊙M：（x-4）²+y²=1，過拋物線C上一點(diǎn)H（x₀，y₀）（y₀≥1）做兩條直線與⊙M相切于A、B兩點(diǎn)，分別交拋物線于E、F兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)∠AHB的角平分線垂直x軸時(shí)，求直線EF的斜率；
（2）若直線AB在y軸上的截距為t，求t的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）法一：根據(jù)當(dāng)∠AHB的角平分線垂直x軸時(shí)，點(diǎn)H（4，2），可得k_HE=-k_HF，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），可得y₁+y₂=-2y_H=-4，從而可求直線EF的斜率；
法二：求得直線HA的方程為y=

3

x-4

3

+2，與拋物線方程聯(lián)立，求出E，F(xiàn)的坐標(biāo)，從而可求直線EF的斜率；
（2）法一：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出直線HA的方程，直線HB的方程，從而可得直線AB的方程，令x=0，可得t=4y₀-

15

y0

（y₀≥1），再利用導(dǎo)數(shù)法，即可求得t的最小值．
法二：求以H為圓心，HA為半徑的圓方程，⊙M方程，兩方程相減，可得直線AB的方程，當(dāng)x=0時(shí)，直線AB在y軸上的截距t=4m-

15

m

（m≥1），再利用導(dǎo)數(shù)法，即可求得t的最小值．

解答： 解：（1）法一：∵當(dāng)∠AHB的角平分線垂直x軸時(shí)，點(diǎn)H（4，2），
∴k_HE=-k_HF，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
∴

yH-y1

xH-x1

=-

yH-y2

xH-x2

，
∴

yH-y1

yH2-y12

=-

yH-y2

yH2-y22

，
∴y₁+y₂=-2y_H=-4．（5分）
∴k_EF=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

y22-y12

=

1

y2+y1

=-

1

4

．（7分）
法二：∵當(dāng)∠AHB的角平分線垂直x軸時(shí)，點(diǎn)H（4，2），∴∠AHB=60°，可得kHA=

3

，kHB=-

3

，
∴直線HA的方程為y=

3

x-4

3

+2，
聯(lián)立方程組

y= 3 x-4 3 +2 y2=x

，
得

3

y²-y-4

3

+2=0，
∵y_E+2=

3

3

，
∴y_E=

3

3

-2，
x_E=

13-4 3

3

．（5分）
同理可得y_F=-

3

3

-2，x_F=

13+4 3

3

，
∴k_EF=-

1

4

．（7分）
（Ⅲ）法一：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵k_MA=

y1

x1-4

，
∴k_HA=

4-x1

y1

，
∴直線HA的方程為（4-x₁）x-y₁y+4x₁-15=0，
同理，直線HB的方程為（4-x₂）x-y₂y+4x₂-15=0，
∴（4-x₁）y₀²-y₁y₀+4x₁-15=0，（4-x₂）y₀²-y₂y₀+4x₂-15=0，（9分）
∴直線AB的方程為（4-x）y₀²-yy₀+4x-15=0，
令x=0，可得t=4y₀-

15

y0

，（y₀≥1），
∵t′=4+

15

y02

＞0，
∴t關(guān)于y₀的函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)y₀=1時(shí)，t_min=-11．（12分）
法二：設(shè)點(diǎn)H（m²，m）（m≥1），HM²=m⁴-7m²+16，HA²=m⁴-7m²+15．
以H為圓心，HA為半徑的圓方程為（x-m²）²+（y-m）²=m⁴-7m²+15，①
⊙M方程：（x-4）²+y²=1．②
①-②得：直線AB的方程為（2x-m²-4）（4-m²）-（2y-m）m=m⁴-7m²+14．（9分）
當(dāng)x=0時(shí)，直線AB在y軸上的截距t=4m-

15

m

（m≥1），
∵t′=4+

15

m2

＞0，
∴t關(guān)于m的函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)m=1時(shí)，t_min=-11．（12分）

點(diǎn)評：本題以拋物線與圓的方程為載體，考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線方程，同時(shí)考查利用導(dǎo)數(shù)法解決函數(shù)的最值問題，綜合性較強(qiáng)．