Question

15．在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD與△ACB是邊長為2的等邊三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分線上．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求二面角E-BC-A．

Answer 1

分析 （1）由題意知，△ABC，△ACD都是邊長為2的等邊三角形，取AC中點O，連接BO，DO，推導(dǎo)出DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，則EF∥DO，F(xiàn)落在BO上，∠EBF=60°，從而四邊形DEFO是平行四邊形，進而DE∥OF，由此能證明DE∥平面ABC．
（2）以O(shè)A，OB，OD為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能求出二面角E-BC-A的余弦值．

解答 證明：（1）由題意知，△ABC，△ACD都是邊長為2的等邊三角形
取AC中點O，連接BO，DO，
則BO⊥AC，DO⊥AC，…（2分）
又∵平面ACD⊥平面ABC，
∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，
那么EF∥DO，根據(jù)題意，點F落在BO上，
∵BE和平面ABC所成的角為60°，
∴∠EBF=60°，
∵BE=2，∴EF=DO=$\sqrt{3}$，…（4分）
∴四邊形DEFO是平行四邊形，
∴DE∥OF，
∵DE不包含于平面ABC，OF?平面ABC，
∴DE∥平面ABC…（6分）
（2）以O(shè)A，OB，OD為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，
B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，0，0），E（0，$\sqrt{3}-1$，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{BC}$=（-1，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，-1，$\sqrt{3}$），
平面ABC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
設(shè)平面BCE的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-x-\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（-3，$\sqrt{3}$，1），…（9分）
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$，
又由圖知，所求二面角的平面角是銳角，
二面角E-BC-A的余弦值為$\frac{\sqrt{13}}{13}$．…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．