Question

7．若函數(shù)f（x）滿足：?x∈R，f（2x）=sinx+f（x），且f（1）=1，則（　�。�

• A． f（$\frac{1}{{2}^{2016}}$）＜$\frac{1}{{2}^{2016}}$
• B． f（$\frac{1}{{2}^{2015}}$）＜$\frac{1}{{2}^{2016}}$
• C． f（$\frac{1}{{2}^{2014}}$）＜$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{{2}^{2016}}$
• D． f（$\frac{1}{{2}^{2013}}$）＞$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{{2}^{2015}}$

Answer 1

分析 運(yùn)用遞推思想得出f（$\frac{1}{{2}^{2016}}$）=sin（$\frac{1}{{2}^{2017}}$）+sin（$\frac{1}{{2}^{2018}}$）+…+sin（$\frac{1}{{2}^{n}}$）．n→+∞，
再放縮得出f（$\frac{1}{{2}^{2016}}$）＜$\frac{1}{{2}^{2017}}$+$\frac{1}{{2}^{2018}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$．n→+∞，運(yùn)用數(shù)列求和，極限求解．

解答 解：∵函數(shù)f（x）滿足：?x∈R，f（2x）=sinx+f（x），
∴f（1）=sin$\frac{1}{2}$+f（$\frac{1}{2}$），
f（$\frac{1}{2}$）=sin$\frac{1}{4}$+f（$\frac{1}{4}$），
f（$\frac{1}{4}$）=sin$\frac{1}{8}$+f（$\frac{1}{8}$），
…
f（$\frac{1}{{2}^{2016}}$）=sin（$\frac{1}{{2}^{2017}}$）+f（$\frac{1}{{2}^{2017}}$）．
∴f（$\frac{1}{{2}^{2016}}$）=sin（$\frac{1}{{2}^{2017}}$）+sin（$\frac{1}{{2}^{2018}}$）+…+sin（$\frac{1}{{2}^{n}}$）．n→+∞，

∵當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，

∴根據(jù)三角函數(shù)線，弧度數(shù)得出：MP＜$\widehat{PT}$
sinx＜x
∴f（$\frac{1}{{2}^{2016}}$）＜$\frac{1}{{2}^{2017}}$+$\frac{1}{{2}^{2018}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$．n→+∞，

∵$\frac{1}{{2}^{2017}}$+$\frac{1}{{2}^{2018}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{{2}^{2017}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{{2}^{2016}}$，n→+∞，
∴f（$\frac{1}{{2}^{2016}}$）＜$\frac{1}{{2}^{2016}}$
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的函數(shù)思想，數(shù)列的極限運(yùn)算，關(guān)鍵利用三角函數(shù)放縮求解，屬于中檔題．