Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|．
（1）當(dāng)a=2時，解不等式f（x）≥7-|x-1|；
（2）若f（x）≤1的解集為[0，2]，$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=a（m＞0，n＞0），求證：m+4n≥2$\sqrt{2}$+3．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值的應(yīng)用表示成分段函數(shù)形式，解不等式即可．
（2）根據(jù)不等式的解集求出a=1，利用1的代換結(jié)合基本不等式進行證明即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時，f（x）=|x-2|，
則不等式f（x）≥7-|x-1|等價為|x-2|≥7-|x-1|，
即|x-2|+|x-1|≥7，
當(dāng)x≥2時，不等式等價為x-2+x-1≥7，即2x≥10，即x≥5，此時x≥5；
當(dāng)1＜x＜2時，不等式等價為2-x+x-1≥7，即1≥7，此時不等式不成立，此時無解，
當(dāng)x≤1時，不等式等價為-x+2-x+1≥7，則2x≤-4，得x≤-2，此時x≤-2，
綜上不等式的解為x≥5或x≤-2，即不等式的解集為（-∞，-2]∪[5，+∞）．
（2）若f（x）≤1的解集為[0，2]，
由|x-a|≤1得-1+a≤x≤1+a．
即$\left\{\begin{array}{l}{1+a=2}\\{-1+a=0}\end{array}\right.$得a=1，
即$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=a=1，（m＞0，n＞0），
則m+4n=（m+4n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$）=1+2+$\frac{4n}{m}$+$\frac{m}{2n}$≥3+2$\sqrt{\frac{4n}{m}•\frac{m}{2n}}$=2$\sqrt{2}$+3．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4n}{m}$=$\frac{m}{2n}$，即m²=8n²時取等號，
故m+4n≥2$\sqrt{2}$+3成立．

點評 本題主要考查不等式的求解和應(yīng)用，根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)形式，利用1的代換轉(zhuǎn)化為基本不等式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．