Question

【題目】如圖所示，在四棱錐A﹣BCDE中，AB⊥平面BCDE，四邊形BCDE為矩形，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，AB=BC=2，BE= ．

（Ⅰ）證明：EF⊥BD；
（Ⅱ）在線段AE上是否存在一點(diǎn)G，使得二面角D﹣BG﹣E的大小為 ？若存在，求 的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取BC的中點(diǎn)M，連接MF，ME，

∵AB⊥平面BCDE，MF∥AB，

∴MF⊥平面BCDE，又BD平面BCDE，∴MF⊥BD．

在Rt△MBE與Rt△BED中，

∵ = = ，∴Rt△MBE∽Rt△BED．

∴∠BME=∠EBD，而∠BME+∠BEM=90°，

于是∠BEM+∠EBD=90°，∴ME⊥BD，

又∵M(jìn)F∩ME=M，∴BD⊥平面MEF，

又∵EF平面MEF，∴EF⊥BD．

解：（Ⅱ）∵AB⊥平面BCDE，四邊形BCDE為矩形，

∴以B為原點(diǎn)，分別以 、 、 的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AG=λAE，依題意可得B（0，0，0），C（2，0，0），

D（2， ，0），A（0，0，2），E（0， ，0），F(xiàn)（1，0，1），

∴ = + = +λ =（0， λ，2﹣2λ）， =（2， ，0），

設(shè)平面BGD的法向量為 =（x，y，z），

則 ，取x=1，則 =（1，﹣ ， ），

平面BGE的法向量為 =（1，0，0），

∵二面角D﹣BG﹣E的大小為 ，

∴|cos＜ ， ＞|= = = ，解得λ= ．

∴存在一點(diǎn)G，且 = 時，二面角D﹣BG﹣E的大小為 ．

【解析】（Ⅰ）求兩條異面直線互相垂直，可以求得一直線垂直于另一直線所在平面，進(jìn)而證明兩條異面直線互相垂直；（Ⅱ）根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標(biāo)系，令二面角D﹣BG﹣E的大小為，求得此時點(diǎn)G的位置，即可解題 .
【考點(diǎn)精析】利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．