Question

11．已知橢圓T：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個頂點A（0，1），離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，圓C：x²+y²=4，從圓C上任意一點P向橢圓T引兩條切線PM、PM．
（1）求橢圓T的方程；
（2）求證：PM⊥PN．

Answer 1

分析 （1）由已知及橢圓中的隱含條件聯(lián)立方程組求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）當P點橫坐標為$±\sqrt{3}$時，PM斜率不存在，PN斜率為0，PM⊥PN；當P點橫坐標不為$±\sqrt{3}$時，設P（x₀，y₀），則${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=4$，設PM的方程為y-y₀=k（x-x₀），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用判別式等于0得到關于k的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系證得PM⊥PN．

解答 （1）解：由題意可知：b=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，即2a²=3c²，
又a²=b²+c²，聯(lián)立解得a²=3，b²=1．
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：①當P點橫坐標為$±\sqrt{3}$時，PM斜率不存在，PN斜率為0，PM⊥PN；
②當P點橫坐標不為$±\sqrt{3}$時，設P（x₀，y₀），則${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=4$，
設k_PM=k，PM的方程為y-y₀=k（x-x₀），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-{x}_{0}）+{y}_{0}}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$．
消去y得：$（1+3{k}^{2}）{x}^{2}+6k（{y}_{0}-k{x}_{0}）x+3{k}^{2}{{x}_{0}}^{2}-6k{x}_{0}{y}_{0}+3{{y}_{0}}^{2}-3=0$．
依題意：△=$36{k}^{2}（{y}_{0}-k{x}_{0}）^{2}-4（1+3{k}^{2}）（3{k}^{2}{{x}_{0}}^{2}-6k{x}_{0}{y}_{0}）+3{{y}_{0}}^{2}-3）=0$，
化簡得：$（3-{{x}_{0}}^{2}）{k}^{2}+2{x}_{0}{y}_{0}k+1-{{y}_{0}}^{2}=0$．
又k_PM、k_PN為上面方程的兩根，
∴${k}_{PM}•{k}_{PN}=\frac{1-{{y}_{0}}^{2}}{3-{{x}_{0}}^{2}}=\frac{1-（4-{{x}_{0}}^{2}）}{3-{{x}_{0}}^{2}}=\frac{{{x}_{0}}^{2}-3}{3-{{x}_{0}}^{2}}=-1$．
∴PM⊥PN．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與圓、圓與橢圓位置關系的應用，考查推理論證能力與計算能力，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．