分析 (I)通過證明AM⊥平面PCD得出AM⊥PM,AM⊥MN,故而∠PMN為所求二面角的平面角,設PA=AD=2,利用勾股定理求出PD,PC,根據(jù)相似三角形轉化為求cos∠PCD;
(II)延長NM、CD交于點E,則∠CEN為所求角,利用相似三角形轉化為求sin∠CPD.
解答 解:(1)∵PC⊥平面AMN,AM?平面AMN,
∴PC⊥AM.
∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,
∴PA⊥CD,又CD⊥AD,PA,AD?平面PAD,PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD,∵AM?平面PAD,
∴CD⊥AM.
又PC,CD?平面PCD,PC∩CD=C,
∴AM⊥平面PAD,∵PM?平面PCD,MN?平面PCD,
則AM⊥PM,AM⊥MN.
故∠PMN為二面角P-AM-N的平面角,
令PA=AD=2,則PD=2$\sqrt{2}$,∴PC=$\sqrt{P{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$,
∵Rt△PMN∽Rt△PCD,∴∠PMN=∠PCD.
∴cos∠PMN=cos∠PCD=$\frac{CD}{PC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴二面角P-AM-N的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.
(2)延長NM、CD交于點E,
∵PC⊥平面AMN,
∴∠CEN為直線CD與面AMN所成的角,
∵PD⊥CD,EN⊥PN,∴Rt△PCD∽Rt△ECN,
∴∠CEN=∠CPD.
∴sin∠CEN=sin∠CPD=$\frac{CD}{PC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
即直線CD與平面AMN所成角正弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.
點評 本題考查了線面垂直的判定與性質,空間角的作法與計算,屬于中檔題.
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A. | 1 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 2 |
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A. | 向左平移$\frac{π}{8}$個單位 | B. | 向右平移$\frac{π}{8}$個單位 | ||
C. | 向左平移$\frac{π}{4}$個單 | D. | 向右平移$\frac{π}{4}$個單位 |
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