Question

【題目】某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為三級過濾，使用壽命為十年.如圖所示，兩個一級過濾器采用并聯(lián)安裝，二級過濾器與三級過濾器為串聯(lián)安裝。

其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)。在使用過程中，一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換（每個濾芯是否需要更換相互獨(dú)立），三級濾芯無需更換，若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯，則一級濾芯每個元，二級濾芯每個元.若客戶在使用過程中單獨(dú)購買濾芯，則一級濾芯每個元，二級濾芯每個元�，F(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購濾芯的數(shù)量，為此參考了根據(jù)套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表，其中圖是根據(jù)個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的柱狀圖，表是根據(jù)個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表.

二級濾芯更換頻數(shù)分布表

二級濾芯更換的個數(shù)
頻數(shù)

以個一級過濾器更換濾芯的頻率代替個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以個二級過濾器更換濾芯的頻率代替個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.

（1）求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為的概率；

（2）記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的一級濾芯總數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（3）記，分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若，且，以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，試確定，的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）=23，=5.

【解析】

（1）根據(jù)圖表，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為，則一級個濾芯，二級個濾芯，分別算出相應(yīng)的概率，一次更換為2個一級濾芯和1個二級濾芯，從而得到概率.

（2）由柱狀圖，一級過濾器需要更換的濾芯個數(shù)，分別得到概率，然后得到可能取的值，算出每種情況的概率，寫出分布列及數(shù)學(xué)期望.

（3）因為且，則可分為兩類，即和，分別計算他們的數(shù)學(xué)期望，然后進(jìn)行比較，選取較小的一組.

（1）由題意可知，若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為，則該套凈水系統(tǒng)中的兩個一級過濾器均需更換個濾芯，二級過濾器需要更換個濾芯。設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為”為事件.

因為一個一級過濾器需要更換個濾芯的概率為，二級過濾器需要更換個濾芯的概率為，

所以.

（2）由柱狀圖可知，

一個一級過濾器需要更換的濾芯個數(shù)為，，的概率分別為，，.

由題意，可能的取值為，，，，，并且

，

，

，

，

.

所以的分布列為

.

（3）【解法一】

因為，，若，，

則該客戶在十年使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費(fèi)用的期望值為；

若，，

則該客戶在十年使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費(fèi)用的期望值為

.

故，的值分別為，.

【解法二】

因為，，若，，

設(shè)該客戶在十年使用期內(nèi)購買一級濾芯所需總費(fèi)用為（單位：元），則

.

設(shè)該客戶在十年使用期內(nèi)購買二級濾芯所需總費(fèi)用為（單位：元），則

，.

所以該客戶在十年使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費(fèi)用的期望值為

.

若，，

設(shè)該客戶在十年使用期內(nèi)購買一級濾芯所需總費(fèi)用為（單位：元），則

.

設(shè)該客戶在十年使用期內(nèi)購買二級濾芯所需總費(fèi)用為（單位：元），則

.

所以該客戶在十年使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費(fèi)用的期望值為

.

故，的值分別為，.