Question

【題目】已知函數(shù)。

（1）若是曲線的切線,求的值；

（2）若,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

法一：（1）根據(jù)題意，設切點的坐標為（x1，y1），求出函數(shù)的導數(shù)，由導數(shù)的幾何意義分析可得，解可得a的值，即可得答案；

（2）根據(jù)題意，f（x）≥1+x+lnx即x（e2x﹣a）≥1+x+lnx，結合x的取值范圍變形可得a+1≤e2x，設F（x）＝e2x，利用導數(shù)分析F（x）在（0，+∞）上的最小值，據(jù)此分析可得答案．

法二：（1）同解法一. （2）設，求導后，先研究a=1時導函數(shù)的最小值，從而得到結論成立，再研究a>1和a<1時情況，利用變換主元的方法進行放縮后分別說明成立及不成立.

法三：（1）同解法一.

（2）先考查函數(shù)，通過導函數(shù)證明，利用此引理進行放縮，分 及去證明，分別去證明成立與說明不成立，得到a的范圍.

解法一：（1）因為，所以，

設直線與的圖象的切點為，

則.①

因為切點既在切線上又在曲線上，所以

由①②③得.

（2）由題意得，即，

因為，所以,

設，則.

考查函數(shù)，

因為，所以在單調遞增.

又因為，且，

故存在，使得，即，

所以當時，，，單調遞減；

當時，，，單調遞增.

所以.

由題意得，.令，取對數(shù)得，④

由，得，⑤……

由④⑤得，

設函數(shù)，則有，

因為在單調遞增，

所以，即，

所以，故，解得.

故的取值范圍是.

解法二：（1）同解法一.

（2）設，，

則.

①當時，令，

，

設，.因為，

所以在單調遞增，又因為，，

故存在，使得，

所以，兩邊取對數(shù)得.,

所以當，，，單調遞減.

，，，單調遞增.

所以.

即時，有.所以符合題意，

②當時，因為，

所以，

由①知，存在，使得，

所以不符合題意.

③當時，，符合題意.，

綜上，的取值范圍是.

解法三：（1）同解法一.

（2）考查函數(shù)，因為，所以當時，，

當時，；當時，，

所以在單調遞減，在單調遞增.

所以.

①當，即時，因為，

所以，符合題意；

②當，即時，設，

因為，所以，

令，考察.

因為，所以在單調遞增.

因為，，

故存在，使得，即，

所以存在，使得，

因為，故存在，使得，

所以不符合題意.

綜上，的取值范圍是.