Question

9．在等差數(shù)列{a_n}中，公差d=2，a₂是a₁與a₄的等比中項．
（1）求a_n；
（2）設b_n=（-1）ⁿ•2${\;}^{{a}_{n}}$，n∈N^*，求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）由題意（a₁+2）²=a₁（a₁+6），求出首項a₁=2，由此能求出結果．
（2）由b_n=（-1）ⁿ•2${\;}^{{a}_{n}}$=（-1）ⁿ•2²ⁿ=（-4）ⁿ，能求出數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答 解：（1）∵在等差數(shù)列{a_n}中，公差d=2，a₂是a₁與a₄的等比中項，
∴$（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+3d）$，
∴（a₁+2）²=a₁（a₁+6），
解得a₁=2，
∴a_n=2n．
（2）b_n=（-1）ⁿ•2${\;}^{{a}_{n}}$=（-1）ⁿ•2²ⁿ=（-4）ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}是首項為-4，公比為-4的等比數(shù)列，
∴求數(shù)列{b_n}的前n項和：
T_n=$\frac{-4[1-（-4）^{n}]}{1-（-4）}$=-$\frac{4+（-4）^{n+1}}{5}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質的合理運用．