Question

3．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距為2$\sqrt{5}$，拋物線y=$\frac{1}{16}$x²+1與雙曲線C的漸近線相切，則雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的焦距以及漸近線和拋物線的相切關(guān)系建立方程求出a，b的值即可．

解答 解：∵雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距為2$\sqrt{5}$，
∴2c=2$\sqrt{5}$，則c=$\sqrt{5}$，
雙曲線的漸近線為y=±$\frac{a}$x，不妨設(shè)y=$\frac{a}$x，
∵拋物線y=$\frac{1}{16}$x²+1與雙曲線C的漸近線相切，
∴由y=$\frac{1}{16}$x²+1=$\frac{a}$x，得$\frac{1}{16}$x²-$\frac{a}$x+1=0，得判別式△=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$-4×$\frac{1}{16}$=0，
即$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，則a²=4b²，
即a²=4b²=4（c²-a²）=20-4a²，
則a²=4，b²=1，即雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)條件建立方程關(guān)系求出a，b，c是解決本題的關(guān)鍵．