Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=lnx+m．
（1）當m=-1時，求函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{x}$+x•g（x）在（0，+∞）上的極值；
（2）若m=2，求證：當x∈（0，+∞）時，f（x）＞g（x）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求出核對F（x）單調區(qū)間，然后求解極小值．
（2）構造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=e^x-lnx-2，求出函數(shù)的導數(shù)，函數(shù)的零點，判斷函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的極值，然后推出結果．

解答 解：（1）$F（x）=\frac{e^x}{x}+x（lnx-1）$，∴${F^'}（x）=\frac{e^x}{x^2}（x-1）+lnx$，
∴F（x）在（0，1）單調減，在（1，+∞）單調增，
∴極小值為F（1）=e-1，無極大值； （4分）
（2）構造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=e^x-lnx-2，
∴$h'（x）={e^x}-\frac{1}{x}$在（0，+∞）單調增，
∵$h'（\frac{1}{2}）=\sqrt{e}-2＜0$，h'（1）=e-1＞0，
∴h'（x）在（0，+∞）上有唯一零點${x_0}∈（\frac{1}{2}，1）$，
∴${e^{x_0}}=\frac{1}{{^{x_0}}}$，即x₀=-lnx₀，且當x∈（0，x₀）時h（x）單調遞減，
當x∈（x₀，+∞）時h（x）單調遞增
故有$h（x）≥h（{x_0}）={e^{x_0}}-ln{x_0}-2=\frac{1}{x_0}+{x_0}-2$，
構造函數(shù)$ϕ（t）=t+\frac{1}{t}-2$在（0，1）上單調減，
∵${x_0}∈（\frac{1}{2}，1）$，∴ϕ（x₀）＞ϕ（1）=0，即h（x₀）＞0，
∴f（x）＞g（x）（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調性的應用，考查計算能力以及轉化思想的應用．