Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
（1）若橢圓C的離心率為$\frac{1}{2}$，右準(zhǔn)線l的方程為x=4，求橢圓方程；
（2）若橢圓C的下頂點(diǎn)為B，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，當(dāng)P是橢圓C的上頂點(diǎn)時(shí)，PB最長(zhǎng)，求橢圓C的離心率的范圍．

Answer 1

分析 （1）由離心率公式和準(zhǔn)線方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）由題意可得B（0，-b），設(shè)P（acosα，bsinα），由兩點(diǎn)的距離公式和同角的平方關(guān)系，化為正弦的式子，再設(shè)sinα=t（-1≤t≤1），由二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，解得a=2，c=1，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由題意可得B（0，-b），設(shè)P（acosα，bsinα），
則|PB|=$\sqrt{{a}^{2}co{s}^{2}α+（bsinα+b）^{2}}$
=$\sqrt{（^{2}-{a}^{2}）si{n}^{2}α+2^{2}sinα+{a}^{2}+^{2}}$，
令sinα=t（-1≤t≤1），由函數(shù)y=（b²-a²）t²+2b²t+a²+b²，
對(duì)稱軸為t=$\frac{^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$，由題意可得$\frac{^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$≥1時(shí)，
區(qū)間[-1，1]為增區(qū)間，t=1，即P為上頂點(diǎn)時(shí)，取得最大值，
則a²≤2b²=2a²-2c²，即有a²≥2c²，
e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則有離心率的范圍是（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和準(zhǔn)線方程，考查離心率的范圍，注意運(yùn)用橢圓的參數(shù)方程和二次函數(shù)的最值的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．