【題目】如圖，在三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)，，，.

⑴求證：平面；

⑵求二面角的正弦值；

⑶已知為棱上的點(diǎn)，若，求線段的長(zhǎng)度.

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

（1）證明，，再根據(jù)，從而得到線面垂直的證明；

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸的正方向，利用向量法求得二面角的余弦值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得正弦值；

（3）結(jié)合（2）中，求得點(diǎn)，再求的值，從而求得線段的長(zhǎng)度.

（1）在三角形中，且為的中點(diǎn)，

所以.①

在中，,.

連接，在中，，

所以.

又，所以，所以.②

又因?yàn)?/span>，③

由①②③，得平面.

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，

所以.

設(shè)為平面的法向量，

則有即

令，得所以.

易得，且為平面的法向量，

所以，，

所以.

故所求二面角的正弦值為

（3）由（2）知.

設(shè)點(diǎn)，則.

又，，

所以，從而

即點(diǎn).

所以.

所以.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】根據(jù)閱兵領(lǐng)導(dǎo)小組辦公室介紹，2019年國(guó)慶70周年閱兵有59個(gè)方(梯)隊(duì)和聯(lián)合軍樂(lè)團(tuán)，總規(guī)模約1．5萬(wàn)人，是近幾次閱兵中規(guī)模最大的一次．其中，徒步方隊(duì)15個(gè)．為了保證閱兵式時(shí)隊(duì)列保持整齊，各個(gè)方隊(duì)對(duì)受閱隊(duì)員的身高也有著非常嚴(yán)格的限制，太高或太矮都不行．徒步方隊(duì)隊(duì)員，男性身高普遍在175cm至185cm之間；女性身高普遍在163cm至175cm之間，這是常規(guī)標(biāo)準(zhǔn)．要求最為嚴(yán)格的三軍儀仗隊(duì)，其隊(duì)員的身高一般都在184cm至190cm之間．經(jīng)過(guò)隨機(jī)調(diào)查某個(gè)閱兵陣營(yíng)中女子100人，得到她們身高的直方圖，如圖，記C為事件：“某一閱兵女子身高不低于169cm”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0．5．

(1)求直方圖中a，b的值；

(2)估計(jì)這個(gè)陣營(yíng)女子身高的平均值 (同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某學(xué)校隨機(jī)抽取部分新生調(diào)查其上學(xué)所需時(shí)間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）．已知上學(xué)所需時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，．

（1）求直方圖中x的值；

（2）如果上學(xué)所需時(shí)間在的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿，請(qǐng)估計(jì)該校800名新生中有多少名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù),則下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）

①函數(shù)在上為周期函數(shù)

②函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增

③函數(shù)在（）取到最大值,且無(wú)最小值

④若方程（）有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)根,則

A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】曲線是平面內(nèi)到直線和直線的距離之積等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡，下列四個(gè)結(jié)論：

①曲線過(guò)點(diǎn)；

②曲線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱；

③若點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)、分別在直線、上，則不小于；

④設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線，點(diǎn)及直線對(duì)稱的點(diǎn)分別為、、，則四邊形的面積為定值；

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝xsinx的圖象是下列兩個(gè)圖象中的一個(gè)，如圖，請(qǐng)你選擇后再根據(jù)圖象作出下面的判斷：若x1，x2∈（），且f（x1）＜f（x2），則（　　 ）

A.x1＞x2B.x1+x2＞0C.x1＜x2D.x12＜x22

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連結(jié)PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.

（Ⅰ）證明：G是AB的中點(diǎn)；

（Ⅱ）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說(shuō)明作法及理由），并求四面體PDEF的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】數(shù)列滿足對(duì)任意的恒成立，為其前n項(xiàng)的和，且，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；

（2）數(shù)列滿足，其中.

①證明：數(shù)列為等比數(shù)列；

②求集合

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案